有效市場假說一度是研究資本市場的基石，資本資產(chǎn)定價模型，無套利分析理論都是在該假說的前提下建立的。不過市場上越來越多的異常現(xiàn)象使得有效市場假說面臨挑戰(zhàn)。有效市場假說的一個重要假設(shè)是證券價格的變化是獨立的，價格呈現(xiàn)隨機狀態(tài)，不會表現(xiàn)出某種規(guī)律和趨勢。其收益率變化應(yīng)該服從正態(tài)分布。對市場效率的研究主要集中在價格波動是否無序，市場是否均衡。
然而大量的實證研究表明，現(xiàn)實的資本市場并不是以線性規(guī)范對信息做出反應(yīng)，其價格收益率也不是相互獨立的，一般呈現(xiàn)出尖峰厚尾等特征，是有偏的隨機游走。于是近年來，人們將分形理論、非線性系統(tǒng)理論和分數(shù)維理論引入資本市場有效性研究中，突破有效市場假說的限制，一種新的分形市場假說開始興起，有效解決了有效市場假說的局限性和缺陷。
分形概念是由法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特提出的。所謂分形，是指部分和整體的形相似。分形具有某種程度上的自相似性和自放射性特征。擋在不同的尺度下進行測量時，其形態(tài)、復(fù)雜程度和不規(guī)則性等特征都有相似性，這種相似性成為標(biāo)度不變性。
而r/s分析法是由英國水文學(xué)家赫斯特提出的，其主要思想是分析重標(biāo)度累積均值離差的標(biāo)度行為[1]，是一種研究周期單分形特征的有效工具，能夠判斷時間序列中分形結(jié)構(gòu)的存在。繼赫斯特提出r/s分析方法后，針對短期相關(guān)性對測度結(jié)果的影響問題，曼徳布特和威廉斯[2]進行了改進，彼得斯[3]也利用一階自回歸的估計殘差對短期依賴性問題進行改進。大量的國外學(xué)者研究表明，資本市場價格存在著分形特征。
在我國，對分形市場的研究大部分集中在股市，對匯率方面的此類研究較少。王春峰[4]等應(yīng)用r/s分析法研究中國股票市場的長期記憶性，得出中國股市具有較明顯的長期記憶性的結(jié)論。張曉莉[5]等對我國滬深兩市指數(shù)進行周和日收益序列，采用非線性估計方法提高r/s系列分析估計h參數(shù)的精確度，結(jié)果表明兩市都具有長期記憶效應(yīng)。楊成義[6]等以中國股市的日收益率為研究對象，通過對r/s 雙對數(shù)曲線以及v統(tǒng)計量的的擬合研究，結(jié)果表明中國股票市場的收益序列均不服從正態(tài)分布，并且呈現(xiàn)出狀態(tài)的持續(xù)性和長期記憶性，具有明顯的分形特征。楊桂元[7]和陳艷[8]等也得出相似結(jié)論。但是，胡章明[9]通過r/s分析對上海股票市場進行分析，得出不一樣的結(jié)論，證明在不同的時間階段，其狀態(tài)持續(xù)性質(zhì)不同。
在匯率市場方面，戴國強[10]等選擇了1984年至1998年15種主要貨幣對美元每日匯率進行研究, 結(jié)果表明匯率波動具有狀態(tài)持久性、關(guān)聯(lián)性、周期性和非線性，并且匯率波動具有穩(wěn)態(tài)特征。孫繼國、伍海華[11]研究了1994年2月20日至2003 年12月31日的人民幣、日元對美元的日匯率數(shù)據(jù)進行實證分析, 結(jié)果表明中日外匯市場均存在著狀態(tài)的持續(xù)性、關(guān)聯(lián)性和非線性, 但由于數(shù)據(jù)不足, 并未估計出統(tǒng)計循環(huán)長度。黃飛雪等[12]以我國人民幣對美元、歐元和日元的日匯率中間價數(shù)據(jù)為研究對象，得出我國人民幣外匯市場具有明顯的分形特征。戎如香[13]以2005 年7 月21 日~ 2008 年3 月12 日銀行間外匯市場六種貨幣兌人民幣匯率數(shù)據(jù)為樣本, 采用r/ s 分析法對其日收益率序列進行了研究，結(jié)果表明六種貨幣兌人民幣匯率均具有非線性特征, 表現(xiàn)為較強的正狀態(tài)持久性, 其波動存在明顯的非周期循環(huán)。
由以上可知，我國在匯率方面的分形市場研究明顯不足于證券市場，所以本文以2005年7月21日至2010年10月29日的人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元，人民幣兌日元的中間報價為研究對象，對其進行r/s分析，以此判斷我國外匯市場的特征。
匯率市場的分形研究為市場的定量分析提供了一種新的思路，也為其監(jiān)管和調(diào)控提供了新的依據(jù)。因為借助于分形和非線性系統(tǒng)理論，一方面可以解釋市場中更多的復(fù)雜現(xiàn)象，另一方面對市場波動產(chǎn)生更好的預(yù)測效果。所以，本文研究具有一定的現(xiàn)實
r/s分析法又稱重新標(biāo)度極差分析法，即重標(biāo)極差分析法，它最大的優(yōu)勢就是不必假定r/s測度時間序列的分布特征，無論分布是正態(tài)的還是非正態(tài)的，r/s分析結(jié)果的穩(wěn)健性均不受影響。
（1）將其分成a個長度為n的相鄰子區(qū)間，n為n/a的整數(shù)部分，分別標(biāo)記為區(qū)間ia（a=1,2……a），則區(qū)間ia中的各元素表示為nk,a（k=1,2……n）。
（1）當(dāng)0≤h<0.5時，c< 0, 時間序列是非持續(xù)性的，時間序列具有反持續(xù)性，它經(jīng)常被稱為均值回復(fù)的，即如果某一時刻，序列向上（下）變化，那么，下一時刻它反轉(zhuǎn)向下（上）變化的可能性比較大。h越接近于0，這種突變的變化越大。
（2）當(dāng)h=0.5時，c=0，時間序列為標(biāo)準(zhǔn)的隨機游走，不同時間的值是不相關(guān)的，是有效市場理論所描述的情形。
（3）當(dāng)0.50，時間序列具有持續(xù)性，它經(jīng)常被稱為分形時間序列，即如果某一時刻，序列向上（下）變化，那么，下一時刻它很可能繼續(xù)向上（下）變化。h越接近于1，這種持續(xù)性越強。
由式（8）可知，當(dāng)r/s 統(tǒng)計量與時間長度n 的平方根同步增長時，v的散點圖將是一條水平線；當(dāng)r/s 統(tǒng)計量增長比n的平方根快時，散點圖出現(xiàn)上升趨勢，即持續(xù)性發(fā)生，此時的h值大于0.5，也反映出長期記憶性的存在；當(dāng)r/s 統(tǒng)計量比n 的平方根增長得慢時，散點圖出現(xiàn)下降趨勢，即反持續(xù)性發(fā)生，此時h值小于0.5，不具有長期記憶性。v統(tǒng)計量的散點圖由一個趨勢變?yōu)榱硪粋€趨勢的拐點就是平均周期點，該點對應(yīng)的時間長度就是平均循環(huán)周期。
檢驗h指數(shù)的顯著性，引入指數(shù)的期望值e（r/s）和v統(tǒng)計量的期望值，該期望值是收益率序列隨機游走情況下的期望值，可用于測量序列對隨機游走的偏離。一般情況下采用式9，式10進行計算：
本文選取2005年7月21日至2010年10月29日人民幣兌100美元，人民幣兌歐元，人民幣兌100日元的中間報價日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于外匯網(wǎng)站的統(tǒng)計數(shù)據(jù)與報告。
設(shè){p t}代表匯率的中間報價序列，p t表示時間t時刻的匯率的中間報價值。則日收益率r（t）可表示為：
相比較與匯率的絕對數(shù)變化，投資者更關(guān)注收益率的變化，所以本文采用日收益率序列進行r/s分析。
利用eviews對三種匯率的日收益率序列特征進行分析，統(tǒng)計如表1所示，由表可知，人民幣兌美元匯率和人民幣兌歐元匯率的日收益率分布均是左偏的，而人民幣兌日元匯率的日對數(shù)收益率是右偏的，這表明三個日收益率均不是圍繞均值對稱分布的。此外三種日收益率的峰度均大于3，在峰值附近集中取值的頻率大于正態(tài)分布，呈現(xiàn)尖峰狀態(tài)，其中人民幣兌歐元匯率的日收益率的尖峰狀態(tài)比較明顯。而且三種匯收益率的jb統(tǒng)計量明顯大于臨界值。所以，匯率的收益率分布遠遠偏離正態(tài)分布，進一步利用r/s分析來驗證是否具有分形市場特征。
以人民幣兌美元匯率收益率為例，利用matlab編程計算r/s，e（r/s），v，v（e（r/s）），并以log10取對數(shù)做r/s，e（r/s），v，v（e（r/s））四
通過回歸可知，在整個樣本區(qū)間內(nèi)，人民幣兌美元匯率日收益率的hurst指數(shù)為0.8230，隨機游走情況下的期望指數(shù)為0.5540。由圖1可知，當(dāng)r/s曲線經(jīng)過某一個點后開始由線性趨向波動性。這樣導(dǎo)致利用最小二乘法取得的h值誤差很大。所以利用對v統(tǒng)計量的二次擬合，如圖2所示，找到這個轉(zhuǎn)折點，得出循環(huán)區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)對h值進行估計，會提高h值的精確度。
通過matlab求區(qū)間最小值，得出在=1.7556時取得最小值。所以人民幣兌美元匯率市場的循環(huán)期間大致為57天。取n=10到n=57之間的r/s值進行回歸，如圖3所示，得出h值為0.5501，隨機游走情況下的期望指數(shù)e（h）為0.6380。
第一，我國人民幣兌美元匯率，人民幣兌歐元匯率，人民幣兌日元匯率日收益率不滿足有效市場假設(shè)，人民幣外匯市場具有明顯的分形市場特征。
第二，人民幣兌日元匯率市場具有長達142天的循環(huán)區(qū)間長度，人民幣兌歐元匯率市場的循環(huán)區(qū)間長度為100天，而人民幣兌美元匯率市場的循環(huán)區(qū)間長度為57天。這表明人民幣兌美元匯率受歷史信息的影響程度較小。
第三，由循環(huán)期間長度內(nèi)擬合的赫斯特指數(shù)可知，人民幣兌歐元匯率市場的分形特征比較明顯，人民幣兌日元次之。較低的h指數(shù)表明受到噪聲影響的程度較低，也是市場缺乏效率的表現(xiàn)。
第四，v統(tǒng)計量的二次模擬確定循環(huán)區(qū)間長度對赫斯特指數(shù)的精確度提高很有必要。在一個循環(huán)區(qū)間長度內(nèi)對赫斯特指數(shù)進行估計，其結(jié)果可能與整個樣本區(qū)間估計有很大不同，但卻是比較精確的取值。
［４］王春峰, 張慶翠, 李剛. 中國股票市場收益的長期記憶性研究[j]. 系統(tǒng)工程,2003,21(1):22-28.
［５］張曉莉，嚴廣樂. 中國股票市場長期記憶特征的實證研究[j]. 系統(tǒng)工程學(xué)報,2007,22(2):190-194.
［６］楊成義，王大鵬，劉澄. 基于r/s 分析的中國股市分形結(jié)構(gòu)的實證研究[j]. 北京科技大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）,2009,25(1):30-33.
［７］楊桂元，趙宏寶.中國股市收益率和波動率的長記憶性檢驗[j]. 統(tǒng)計與信息論壇,2009,24(6):39-43.
［８］陳艷.我國股市股價動態(tài)行為的實證分析[j]. 職教與經(jīng)濟研究,2007,5(2):19-22.
［９］胡章明.上海股票市場的周期性和長記憶性的實證研究[j]. 現(xiàn)代商業(yè),2006,(2):38-40.
［10］戴國強,徐龍炳,陸蓉.國際匯率波動的非線性探索及其政策意義[j].國際金融研究,1999,(10):9-15.
［11］孫繼國,伍海華.基于r/s方法的中日外匯市場非線性分析[j].統(tǒng)計與決策,2006,(16):70-72.
［12］黃飛雪,趙巖.基于r/s分析的人民幣外匯市場分形特征實證研究 [j]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2008,10(6):66-70.
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